风险（波动率）分解介绍

市场的总波动在风险-收益相关理论研究中占据着非常重要的位置， 但对于一个典型的上市公司而言，整个股票市场的波动仅仅是其个股波动的一部分， 行业水平和个股水平上的事件冲击也是个股收益的重要组成部分。 在现实世界中，许多投资者往往将资金集中在几只股票上，无法真正做到资产组合理论所建议的分散化投资， 从而彻底消除个股风险；对于希望通过购买被低估的股票进行套利的投资者而言，面临的主要风险也是与个股相关的特定风险， 而非市场整体风险。除此之外，个股特定风险在事件研究、个股期权定价等金融理论和实践中也存在着广泛的应用。 因此，对整个市场、某个行业、所有国有企业上市公司或按照其他分类标准对股票的波动进行分解， 或者从会计角度对公司的基本面进行研究，对我们理解股票市场的波动有着极大的帮助。

理论基础/计算方法：

(1) Campell, Lettau, Malkiel and Xu (2001)

我们假设市场上存在一个代表性的上市公司$j$ ，其所处的行业为$i$。 令 $R_{jit}$ 代表该公司股票在 $t$ 期的风险溢价（即股票当期收益与无风险利率的差）， 为公司$j$ 在行业$i$ 内市值比重，则$t$ 期内行业$i$ 的风险溢价可以表示为 $R_{it}=\sum _{j\in i}{w}_{jit}{R}_{jit}$ ， 如果行业 $i$ 在整个股票市场中的权重用 $w_{it}$ ，市场风险溢价则为 $R_{mt}=\sum _i{w}_{it}{R}_{it}$ 。

我们将行业i和上市公司j的风险溢价按照如下方式进行分解，

$R_{it}=R_{mt}+{\epsilon }_{it}$         (1)

$R_{jit}=R_{it}+{\eta }_{jit}$         (2)

根据Campell, Lettau, Malkiel和Xu(2001)，可以得到

$$\begin{gathered} \underset{i}{\sum }{w}_{it}\sum _{j\in i}{w}_{jit}VAR\left(R_{jit}\right)=\underset{i}{\sum }{w}_{it}VAR\left(R_{it}\right)+\sum _i{w}_{it}\sum _{j\in i}{w}_{jit}VAR\left({\eta }_{jit}\right) \\ =VAR\left(R_{mt}\right)+\underset{i}{\sum }{w}_{it}VAR\left({\epsilon }_{it}\right)+\underset{i}{\sum }{w}_{it}{{\sigma }_{jit}}^2={{\sigma }_{mt}}^2+{{\sigma }_{\epsilon t}}^2+{{\sigma }_{\eta t}}^2 \end{gathered}$$         (3)

上式中， ${\sigma }_{mt}^2=VAR\left(R_{mt}\right)$ 代表市场波动风险， ${\sigma }_{\epsilon t}^2=\sum _i{w}_{it}VAR\left({\epsilon }_{it}\right)$ 和 ${\sigma }_{\eta t}^2=\sum _i{w}_{it}{\sigma }_{\eta it}^2=\sum _i{w}_{it}\sum _{j\in i}{w}_{jit}VAR\left({\eta }_{jit}\right)$ 分别衡量了平均行业波动风险和平均个股波动风险。以上这种分解方法一方面解决了从市场、行业和公司水平对股票市场波动率进行分解的问题， 另一方面，与CAPM模型相比，避免了由于贝塔系数估计误差和不稳定造成的困难。

在上述的分解过程中， ${\sigma }_{\epsilon t}^2$ 作为总波动在行业水平上的分解，是不同行业市值加权得到的平均行业波动。 但是，不同行业的波动存在着巨大的差异，比如弱周期的食品饮料行业和强周期的银行业的波动不可能表现出相同的趋势， 因此我们往往也需要对某个行业的波动进行研究。具体而言，对于某个特定行业i和该行业内的上市公司j，我们按照下面的方式对其风险溢价进行分解，

$R_{it}={\beta }_{im}{R}_{mt}+{\tilde{\epsilon }}_{it}$         (4)

$R_{jit}={\beta }_{im}{R}_{mt}+{\tilde{\epsilon }}_{it}+{\eta }_{jit}$         (5)

因此，我们可以得到

$\sum _{j\in i}{w}_{jit}VAR\left(R_{jit}\right)={{\beta }_{im}}^{2}VAR\left(R_{mt}\right)+{{\tilde{\sigma }}_{it}}^2+{{\sigma }_{\eta it}}^2$         (6)

其中 ${{\beta }_{im}}^{2}VAR\left(R_{mt}\right)$ 和 ${{\tilde{\sigma }}_{it}}^2=VAR\left({\tilde{\epsilon }}_{it}\right)$ 分别代表行业i的系统风险和非系统风险， ${{\beta }_{im}}^{2}VAR\left(R_{mt}\right)+{{\tilde{\sigma }}_{it}}^2$ 是行业 $i$ 的平均行业风险， ${\sigma }_{\eta it}^2=\sum _{j\in i}{w}_{jit}VAR\left({\eta }_{jit}\right)$ 是行业 $i$ 内上市企业的平均个股波动风险。

（2）T Vuolteenaho（2002）

Vuolteenaho(2002)从会计学的角度出发，在假设净盈余关系成立的前提下，将非预期收益（unexpected returns）的方差分解为盈余信息方差、贴现率信息方差和两者的协方差，即

$r_t-E_{t-1}\left(r_t\right)=N{e}_t-N{r}_t$         (7)

$VAR\left(r_t-E_{t-1}\left(r_t\right)\right)=VAR\left(N{e}_t\right)+VAR\left(N{r}_t\right)-2COV\left(N{e}_t,N{r}_t\right)$         (8)

为了得到 $VAR\left(N{e}_t\right)$ 、 $VAR\left(N{r}_t\right)$ 和 $COV\left(N{e}_t,N{r}_t\right)$ ，我们首先使用向量自回归模型（Vector Autoregressive system, VAR）得到上式中的 $N{e}_t$ 和 $N{r}_t$ 。 令 $z_{i,t}$ 是公司 $i$ 在 $t$ 期的状态向量，我们假设 $z_{i,t}$ 满足以下方程：

$z_{i,t}=\mathbb{T}{z}_{i,t-1}+u_{i,t}$         (9)

具体的，我们令

$z_{i,t}=\left(\begin{array}{c}{r}_{i,t}\\ ro{e}_{i,t}\\ b{m}_{i,t}\end{array}\right)$         (10)

其中， $r_{i,t}$ 是市场调整后的个股对数收益率，即公司个股风险溢价与行业平均风险溢价的差; $ro{e}_{i,t}$ 是市场调整后的股权收益率，即公司当期股权收益率减去行业平均股权收益； $b{m}_{i,t}$ 是公司当期账面市值比与行业平均账面市值比的差值。 令

$e{1}^{\text{'}}\equiv \left[\begin{array}{cccc}1& 0& \cdots & 0\end{array}\right]$         (11)

${\lambda }^{\text{'}}\equiv e{1}^{\text{'}}\rho \mathbb{T}{\left(I-\rho \mathbb{T}\right)}^{-1}$         (12)

根据Campell(1991), 盈余信息和贴现率信息引起的收益分别是 $\lambda \text{'}{u}_{i,t}$ 和 $\left(e1\text{'}+\lambda \text{'}\right)u_{i,t}$ 如果残差的方差矩阵是Σ，非预期收益的方差可以分解为盈余信息方差、贴现率信息方差和两者的协方差，如式（13）-（15）：

$VAR\left(N_r\right)={\lambda }^{\text{'}}\Sigma \lambda$         (13)

$VAR\left(N_{cf}\right)=\left(e{1}^{\text{'}}+{\lambda }^{\text{'}}\right)\Sigma \left(e1+\lambda \right)$         (14)

$COV\left(N_r,N_{cf}\right)={\lambda }^{\text{'}}\Sigma \left(e1+\lambda \right)$         (15)

参考文献

Campbell, John Y., et al. "Have individual stocks become more volatile? An empirical exploration of idiosyncratic risk." The Journal of Finance 56.1 (2001): 1-43.

Vuolteenaho, Tuomo. "What Drives Firm‐Level Stock Returns?." The Journal of Finance 57.1 (2002): 233-264.

Campbell, John Y. A variance decomposition for stock returns. No. w3246. National Bureau of Economic Research, 1990.